سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه طبقه بندی سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه کنترل بهینه سیستم های کاری دانشمندان انگلیسی

ACS بهینه به نوعی به عنوان بهترین سیستم در نظر گرفته می شود. معیارهای بهینه می توانند متفاوت باشند و به مسئله ای که حل می شود بستگی دارد. رایج ترین معیارهای بهینه عبارتند از:

1) دقت ACS تحت تأثیر تغییر،

2) زمان انتقال،

3) سودآوری؛

کارایی؛

معیارهای یکپارچه

تا به امروز، بیشترین پیشرفت در 2 حوزه در تئوری بهینه بودن سیستم ها ایجاد شده است:

1) تئوری کنترل بهینه حرکت سیستم ها با اطلاعات کامل در مورد جسم و اختلالات.

نظریه های کنترل بهینه تحت اغتشاشات تصادفی.

برای اجرای کنترل بهینه، لازم است:

هدف مدیریت را مشخص کنید. هدف یا با یک تابع هدف یا یک معیار بهینه سازی بیان می شود.

تابع هدف یا معیار بهینه‌سازی به شما امکان می‌دهد اثر کمی هر تصمیمی را بیابید.

مدلی را برای تجزیه و تحلیل و تعیین اثربخشی تصمیم انتخاب کنید.

مطالعه تمام حالات محیط برای عملکرد شی که بر گذشته، حال و آینده فرآیند مدیریت تأثیر می گذارد.

هنگام حل مسئله کنترل بهینه، از روش های حساب متغیر، اصول حداکثر و همچنین برنامه ریزی دینامیکی و ریاضی استفاده می شود.

مسئله کنترل بهینه در حالت کلی را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

1) هدف مدیریت که به صورت ریاضی در قالب یک معیار عملکردی یا مدیریتی نمایش داده می شود

2) معادلات سیستم - معمولاً به شکل معادلات حالت آورده می شوند

3) سیستم معادلات مرزی در زمان اولیه و نهایی.

4) سیستمی از قیود که متغیرها و معادلات را باید برآورده کند.

مورد نیاز برای یافتن:

بردار کنترلی که در آن معیار هدف کنترل دارای اکسترموم (حداکثر یا حداقل) است.

لازم به ذکر است که در برخی موارد ممکن است کنترل بهینه وجود نداشته باشد و بدون حل مشکل نمی توان در مورد آن قضاوت کرد. راه حل مشکل یافتن کنترل بهینه مبهم است، به عنوان مثال. هر راه حل یافت شده یک بهینه محلی می دهد. اگر همه بهینه های محلی پیدا شوند، در این صورت می توان یک بهینه جهانی را شناسایی کرد. بهینه جهانی یافت شده حل مسئله کنترل بهینه است.

معیارهای کیفی یکپارچه:

عملکرد بهینه

تابعی فرم دارد

عملکرد بهینه

معیار بهینه بودن زاویه چرخش  برای زمان معین t است و تابعی شکل

اقتصاد بهینه

معیار بهینه بودن مصرف انرژی برای یک زمان معین است و عملکردی شکل دارد

28. طراحی تحلیلی رگولاتورها. فرمول بندی مسئله.

هنگام مطالعه کیفیت گذرا در سیستم های کنترل خودکار خطی، معیارهای کیفیت انتگرال ریخته شده معرفی شدند که با کمک آنها فرآیند گذرا در یک بازه زمانی بی نهایت ارزیابی شد. هنگام در نظر گرفتن معیارهای کیفی یکپارچه، مطمئن شدیم که این معیارها به ما امکان می دهد پارامترهای کنترل کننده را در صورت ارائه ساختار آن تعیین کنیم. می توان یک مشکل کلی تر را مطرح کرد: یافتن قانون تنظیم - یک تابع تحلیلی که مختصات کنترل و عمل کنترل را به هم متصل می کند، در حالی که حداقل را به معیار کیفیت یکپارچه تحویل می دهد. چنین طراحی بهینه معادله دیفرانسیل تنظیم کننده را طراحی تحلیلی رگلاتور می نامند. از نظر روش حل و فرمول مسئله، این مسئله مشابه مسائل کنترل بهینه است.

این یک مشکل متغیر است، که در آن تابعی که X و U را به هم متصل می کند به عنوان یک Extremal جستجو می شود.

در طراحی تحلیلی، وظیفه یافتن قانون کنترلی است که با در نظر گرفتن معادلات کارخانه و شرایط مرزی، min را به انتگرال مشخص کننده خطای درجه دوم سیستم و تضمین پایداری آن برساند.

بیان مسئله طراحی بهینه کنترلرها.

هدف تنظیم با استفاده از معادلات دیفرانسیل مشخص می شود که در فرم عملگر مربوط به انتساب تابع انتقال Wop(S) (یا W(S)) است.

اعتقاد بر این است که سیستم تحت تأثیر اغتشاشات خارجی قرار نمی گیرد و فرآیند انتقال زمانی رخ می دهد که شرایط اولیه تغییر کند.

ایکس = y 0 – y - عدم تطابق

در یک ACS خطی پایدار، در نتیجه فرآیند گذرا، همه توابع مختصات باید به 0 تمایل داشته باشند. x 1 () = x 2 () = ... xn () = U () = 0 (2) )

به عنوان یک معیار بهینه، یک انتگرال از فرم را انتخاب می کنیم

(3)، که در آن V یک شکل درجه دوم قطعی مثبت است.

آن ها اگر V را با  (3) جایگزین کنیم، این خطای درجه دوم سیستم خواهد بود.

عضو U 2 در (4) هزینه فرآیند کنترل را مشخص می کند، به عنوان مثال. هزینه های انرژی گرمایشی U 2 عدم وجود قوانین غیرقابل تحقق در تنظیم کننده های خطی را تضمین می کند، عدم وجود اقدامات کنترلی را تضمین می کند که تحت آن سرعت به بی نهایت تبدیل می شود.

وجود (3) پایداری سیستم را تضمین می کند. در طراحی تحلیلی، وظیفه یافتن تابع Ф (U, U, x 1 ... xk) = 0 (5) به شکل تحلیلی است - که با در نظر گرفتن معادلات گیاهی و شرایط مرزی (1) و (2) ، حداقل را به انتگرال (3) تحویل می دهد.

6.2.1. فرمول بندی و طبقه بندی مسائل در تئوری کنترل بهینه.در اکثریت قریب به اتفاق مشکلاتی که در نظر گرفتیم، عوامل مرتبط با تغییر در اشیا و سیستم های مورد مطالعه در طول زمان از پرانتز خارج شدند. شاید اگر پیش نیازهای خاصی برآورده شود، چنین رویکردی سازنده و مشروع باشد. با این حال، همچنین واضح است که این همیشه قابل قبول نیست. دسته وسیعی از مسائل وجود دارد که در آنها لازم است اعمال بهینه یک جسم را با در نظر گرفتن پویایی حالات آن در زمان و مکان پیدا کنیم. روش‌های حل آنها موضوع نظریه ریاضی کنترل بهینه است.

در یک شکل بسیار کلی، مسئله کنترل بهینه را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

یک شی وجود دارد که وضعیت آن با دو نوع پارامتر مشخص می شود - پارامترهای حالت و پارامترهای کنترل، و بسته به انتخاب دومی، روند مدیریت شی به یک طریق یا دیگری ادامه می یابد. کیفیت فرآیند کنترل با استفاده از برخی عملکرد*ها ارزیابی می شود که بر اساس آن وظیفه تعیین می شود: یافتن دنباله ای از مقادیر پارامترهای کنترلی که برای آن این عملکرد یک مقدار شدید می گیرد.

* عملکردیک تابع عددی نامیده می شود که آرگومان های آن، به عنوان یک قاعده، توابع دیگری هستند.

از دیدگاه رسمی، بسیاری از مسائل کنترل بهینه را می توان به مسائل برنامه ریزی خطی یا غیرخطی با ابعاد بزرگ تقلیل داد، زیرا هر نقطه در فضای حالت مربوط به بردار خود متغیرهای مجهول است. با این وجود، به عنوان یک قاعده، حرکت در این جهت بدون در نظر گرفتن ویژگی های وظایف مربوطه منجر به الگوریتم های منطقی و کارآمد برای حل آنها نمی شود. بنابراین، روش‌هایی برای حل مسائل کنترل بهینه به طور سنتی با دستگاه ریاضی دیگری همراه است که از حساب تغییرات و تئوری معادلات انتگرال نشات می‌گیرد. همچنین باید توجه داشت که باز هم بنا به دلایل تاریخی، تئوری کنترل بهینه بر کاربردهای فیزیکی و فنی متمرکز بود و کاربرد آن در حل مسائل اقتصادی به نوعی فرعی است. در عین حال، در تعدادی از موارد، مدل‌های پژوهشی که از دستگاه تئوری کنترل بهینه استفاده می‌کنند، می‌توانند به نتایج معنادار و جالبی منجر شوند.

به آنچه در بالا گفته شد، لازم است نکته ای در مورد رابطه نزدیکی که بین روش های مورد استفاده برای حل مسائل کنترل بهینه و برنامه نویسی پویا وجود دارد، اضافه کنیم. در برخی موارد، آنها می توانند بر اساس جایگزین استفاده شوند، در حالی که در برخی دیگر کاملاً با موفقیت یکدیگر را تکمیل می کنند.

رویکردهای مختلفی برای طبقه بندی مسائل کنترل بهینه وجود دارد. اول از همه، آنها را می توان بسته به شی کنترل طبقه بندی کرد:

Ø Ø وظایف مدیریت باپارامترهای توده ای؛

Ø Ø وظایف مدیریت شی باگزینه های توزیع شده

نمونه اولی کنترل هواپیما به عنوان یک کل است و دومی کنترل یک فرآیند تکنولوژیکی مداوم است.

بسته به نوع نتایجی که کنترل های اعمال شده به آنها منجر می شود، وجود دارد قطعیو تصادفیوظایف در مورد دوم، نتیجه کنترل مجموعه ای از نتایج است که با احتمال وقوع آنها توصیف می شود.

با توجه به ماهیت تغییر در سیستم کنترل شده در طول زمان، وظایف متمایز می شوند:

Ø Ø با گسسته تغییر زمان;

Ø Ø به طور مداوم تغییر زمان.

مشکلات مدیریت اشیا با مجموعه ای گسسته یا پیوسته از حالت های ممکن به طور مشابه طبقه بندی می شوند. وظایف کنترلی برای سیستم هایی که در آن زمان و حالت ها به طور گسسته تغییر می کنند، وظایف کنترلی نامیده می شوند. ماشین های دولتی. در نهایت تحت شرایط خاصی می توان مشکلات کنترل سیستم های مختلط را مطرح کرد.

بسیاری از مدل‌های سیستم‌های کنترل‌شده مبتنی بر دستگاه معادلات دیفرانسیل در مشتقات معمولی و جزئی هستند. در مطالعه سیستم های با پارامترهای توزیع شده، بسته به نوع معادلات دیفرانسیل جزئی مورد استفاده، انواع مسائل کنترلی بهینه مانند سهمی، بیضوی یا هذلولی متمایز می شوند.

بیایید دو مثال ساده از مشکلات مدیریت اشیاء اقتصادی را در نظر بگیریم.

مشکل توزیع منابعدر دسترس تیانبارها با شماره من (من∊1:متر) برای نگهداری یک محصول همگن طراحی شده است. در زمان های مجزا تی∊0:(تی-l) بین اشیاء مصرف کننده (مشتریان) با اعداد توزیع می شود j, j∊1:n. تکمیل موجودی در محل نگهداری محصول در تی-مین لحظه زمان توسط کمیت ها تعیین می شود a i t,من∊1:متر، و نیازهای مشتریان در آن برابر است b j t, j∊1:n. با نشان دادن c t i,jهزینه تحویل یک واحد محصول از منانبار j-ام مصرف کننده در زمان تیهمچنین فرض بر این است که محصولی که در آن زمان به انبار رسیده است تی، از لحظه بعد قابل استفاده است ( تی+l). برای مدل فرموله شده، وظیفه یافتن چنین طرح تخصیص منابع است ( x t i,j} Tmایکس n، که هزینه کل تحویل محصولات به مصرف کنندگان از انبارها را در طول دوره کامل عملیات سیستم به حداقل می رساند.

دلالت از طریق x t i,jمقدار محصول تحویل داده شده j-ام مشتری با منانبار در تی-مین نقطه در زمان، و پس از آن z t i- مقدار کل محصول منانبار، مشکل توضیح داده شده در بالا را می توان به عنوان مشکل یافتن مجموعه ای از متغیرها نشان داد

که عملکرد را به حداقل می رساند

تحت شرایط

که در آن حجم انبارهای اولیه محصول در انبارها z 0 من = ž من. فرض می شود داده شود.

مسئله (6.20)-(6.23) نامیده می شود مسئله حمل و نقل پویا برنامه ریزی خطی. از نظر اصطلاحات فوق، متغیرهای مستقل x t i,jنمایندگی کند پارامترهای کنترلسیستم و متغیرهایی که به آنها بستگی دارد z t i- تجمیع پارامترهای حالتسیستم ها در هر زمان معین تیمحدودیت های z t i≥ 0 تضمین می کند که در هر زمان حجم محصول بیش از مقدار واقعی آن نمی تواند از هیچ انباری صادر شود و محدودیت های (6.21) قوانین تغییر این مقدار را هنگام انتقال از یک دوره به دوره دیگر تعیین می کند. محدودیت هایی از این نوع، که شرایطی را بر روی مقادیر پارامترهای وضعیت سیستم تعیین می کنند، معمولاً نامیده می شوند فاز.

همچنین توجه می کنیم که شرط (6.21) ساده ترین مثال از محدودیت های فاز است، زیرا مقادیر پارامترهای حالت برای دو دوره مجاور به هم مرتبط هستند. تیو تی+l. در حالت کلی، می توان برای گروهی از پارامترهای متعلق به چند مرحله، احتمالاً غیر مجاور، وابستگی ایجاد کرد. چنین نیازی ممکن است به عنوان مثال هنگام در نظر گرفتن عامل تاخیر در تحویل در مدل ها ایجاد شود.

ساده ترین مدل پویا اقتصاد کلان.اجازه دهید اقتصاد یک منطقه خاص را به عنوان یک مجموعه نمایش دهیم پصنایع ( j∊1:پ، محصول ناخالص آن به لحاظ پولی در مقطعی تیرا می توان به صورت بردار نشان داد z t=(z t 1 , z t 2 ,..., z t n)، جایی که تی∊0:(تی-یک). با نشان دادن A tماتریس هزینه مستقیم، عناصر آن a t i,j، منعکس کننده هزینه های تولید است من- صنعت (به لحاظ پولی) برای ساخت یک واحد تولیدی jصنعت در تی-مین نقطه در زمان اگر X t= ║x t i,j║nایکس متر- ماتریسی که هنجارهای خاص تولید را مشخص می کند منصنعت در حال گسترش تولید در jصنعت هفتم و در تی = (در تی 1 , در تی 2 , ..., در tn) بردار حجم تولید بخش های مصرف کننده است که برای مصرف استفاده می شود، پس شرط بازتولید گسترش یافته را می توان به صورت زیر نوشت:

جایی که z 0 = ž - عرضه اولیه محصولات صنایع در نظر گرفته شده است و

در مدل در نظر گرفته شده، مقادیر z tپارامترهای وضعیت سیستم هستند و X t- پارامترهای کنترل بر اساس آن می توان وظایف مختلفی را تعیین کرد که یک نماینده معمولی آن مشکل تولید بهینه اقتصاد در حال حاضر است. تیبه یک ایالت معین z*. این مشکل به یافتن دنباله ای از پارامترهای کنترل کاهش می یابد

شرایط رضایت بخش (6.24) - (6.25) و به حداقل رساندن تابع

6.2.2. ساده ترین مسئله کنترل بهینهیکی از تکنیک‌هایی که برای حل مشکلات شدید استفاده می‌شود، جداسازی برخی از مشکلات است که راه‌حل نسبتاً ساده‌ای را پذیرفته است، که می‌توان مشکلات دیگر را در آینده به آن کاهش داد.

به اصطلاح را در نظر بگیرید ساده ترین مشکل کنترل. اون شبیه

ویژگی شرایط مسئله (6.27)-(6.29) این است که توابع کیفیت کنترل (6.27) و محدودیت ها (6.28) نسبت به خطی هستند. z t، در همان زمان تابع g(تی, x t) در (6.28) می تواند دلخواه باشد. آخرین ویژگی مسئله را حتی برای غیر خطی می کند تی=1، یعنی در نسخه استاتیک.

ایده کلی حل مسئله (6.27)-(6.29) به "تقسیم" آن به وظایف فرعی برای هر لحظه از زمان خلاصه می شود، با این فرض که آنها با موفقیت قابل حل هستند. اجازه دهید برای مسئله (6.27)-(6.29) تابع لاگرانژ بسازیم

جایی که λ تی- بردار ضرب کننده های لاگرانژ ( تی∊0:تی). قیود (6.29) که ماهیتی کلی دارند، در این مورد در تابع (6.30) گنجانده نشده است. بیایید آن را به شکل کمی متفاوت بنویسیم

شرایط لازم برای حداکثر تابع Ф (x, z,λ) توسط مجموعه بردارها z tتوسط سیستم معادلات داده می شود

که نامیده می شود سیستم برای متغیرهای مزدوج. همانطور که می بینید، فرآیند یافتن پارامترهای λ تیدر سیستم (6.32) به طور مکرر به ترتیب معکوس انجام می شود.

شرایط لازم برای حداکثر تابع لاگرانژ در متغیرهای λ تیمعادل قیود (6.28) و در نهایت، شرایط حداکثر آن با توجه به مجموعه بردارها خواهد بود. x t∊X t, تی∊1:(تی-1) باید در نتیجه حل مشکل پیدا شود

بنابراین، مشکل یافتن یک کنترل بهینه به یافتن کنترل‌هایی که مشکوک به بهینه هستند، یعنی کنترل‌هایی که شرط بهینه لازم برای آنها برآورده شده است، کاهش می‌یابد. این نیز به نوبه خود به یافتن چنین چیزی منجر می شود تی, تی, تی، ارضای سیستم شرایط (6.28)، (6.32)، (6.33) که به نام اصل حداکثر پونتریاگین گسسته.

قضیه صحیح است.

اثبات

بگذار باشد تی, تی, تی، سیستم راضی (6.28)، (6.32)، (6.33). سپس از (6.31) و (6.32) چنین بر می آید که

و از تیپس (6.33) را برآورده می کند

از سوی دیگر، با توجه به (6.28) از (6.30) نتیجه می شود که برای هر بردار تی

در نتیجه،

با استفاده از قضیه (6.2)، و همچنین مفاد تئوری برنامه ریزی غیرخطی در مورد ارتباط بین حل یک مسئله اکسترمال و وجود یک نقطه زین (به بخش 2.2.2 مراجعه کنید)، نتیجه می گیریم که بردارها تی, تیراه حلی برای ساده ترین مسئله کنترل بهینه (6.27)-(6.29) هستند.

در نتیجه، ما یک طرح منطقی ساده برای حل این مشکل به دست آورده ایم: روابط (6.32) متغیرهای مزدوج را تعیین می کند. تی، سپس در مسیر حل مسئله (6.33) کنترل ها پیدا می شوند تیو بیشتر از (6.28) - مسیر بهینه حالات تی,.

روش پیشنهادی متعلق به نتایج بنیادی تئوری کنترل بهینه است و همانطور که در بالا ذکر شد برای حل بسیاری از مسائل پیچیده‌تر که به روشی به ساده‌ترین آنها کاهش می‌یابد، مهم است. در عین حال، محدودیت های استفاده مؤثر از آن نیز آشکار است که کاملاً به امکان حل مسئله بستگی دارد (6.33).

مفاهیم کلیدی

Ø Ø بازی، بازیکن، استراتژی.

Ø Ø بازی های حاصل جمع صفر.

Ø Ø بازی های ماتریسی.

Ø Ø بازی های متضاد.

Ø اصول ماکسیمین و مینیمکس.

Ø Ø نقطه زین بازی.

Ø Ø قیمت بازی.

Ø استراتژی ترکیبی.

Ø قضیه اصلی بازی های ماتریسی.

Ø مشکل حمل و نقل پویا.

Ø Ø ساده ترین مدل پویای اقتصاد کلان.

Ø Ø ساده ترین مسئله کنترل بهینه.

Ø اصل حداکثر پونتریاگین گسسته.

سوالات آزمون

6.1. موضوع نظریه بازی ها را به عنوان یک رشته علمی به اختصار بیان کنید.

6.2. معنی کلمه "بازی" چیست؟

6.3. برای تشریح چه موقعیت های اقتصادی می توان از دستگاه نظریه بازی ها استفاده کرد؟

6.4. بازی آنتاگونیستی چیست؟

6.5. چه چیزی به طور منحصر به فرد بازی های ماتریسی را تعریف می کند؟

6.6. اصول ماکسیمین و مینی مکس چیست؟

6.7. در چه شرایطی می توانیم بگوییم بازی نقطه زینی دارد؟

6.8. از بازی هایی که نقطه زین دارند و ندارند مثال بزنید.

6.9. چه رویکردهایی برای تعیین استراتژی های بهینه وجود دارد؟

6.10. به چه چیزی "قیمت بازی" می گویند؟

6.11. اصطلاح استراتژی مختلط را تعریف کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. آبراموف L. M.، Kapustin V. F.برنامه نویسی ریاضی. L.، 1981.

2. آشمانوف اس.برنامه نویسی خطی: Proc. کمک هزینه م.، 1981.

3. اشمانوف اس.ا.، تیخونوف آ.و.تئوری بهینه سازی در کارها و تمرین ها. م.، 1991.

4. بلمن آر.برنامه نویسی پویا م.، 1960.

5. بلمن آر، دریفوس اس.مسائل کاربردی برنامه نویسی پویا م.، 1965.

6. گاورین ام. ک.، مالوزموف وی.مشکلات شدید با محدودیت های خطی. L.، 1984.

7. گاز اس.برنامه ریزی خطی (روش ها و کاربردها). م.، 1961.

8. گیل دی. نظریه مدل های اقتصادی خطی M.، 1963.

9. گیل اف.، موری دبلیو.، رایت ام.بهینه سازی عملی / Per. از انگلیسی. م.، 1985.

10. داویدوف ای.جی.تحقیق در عملیات: Proc. کمک هزینه برای دانشجویان دانشگاه م.، 1990.

11. دانزیگ جی.برنامه ریزی خطی، تعمیم ها و کاربردهای آن. م.، 1966.

12. Eremin I. I.، Astafiev N. N.مقدمه ای بر تئوری برنامه ریزی خطی و محدب. م.، 1976.

13. Ermoliev Yu.M.، Lyashko I.I.، Mikhalevich V.S.، Tyuptya V.I.روشهای ریاضی تحقیق در عملیات: Proc. کمک هزینه برای دانشگاه ها کیف، 1979.

14. Zaichenko Y.P.تحقیق در عملیات، ویرایش دوم. کیف، 1979.

15. زنگویل دبلیو آی.برنامه نویسی غیرخطی رویکرد یکپارچه م.، 1973.

16. زوتندیک جی.روش های جهت های ممکن م.، 1963.

17. کارلین اس.روش های ریاضی در نظریه بازی ها، برنامه نویسی و اقتصاد. م.، 1964.

18. کارمانوف وی.جی.برنامه نویسی ریاضی: Proc. کمک هزینه م.، 1986.

19. Korbut A.A., Finkelyitein Yu. Yu.برنامه نویسی گسسته م.، 1968.

20. کوفمن آ.، هانری لابوردر آ.روش ها و مدل های تحقیق در عملیات. م.، 1977.

21. Künze G.P.، Crelle V.برنامه نویسی غیرخطی م.، 1965.

22. لیاشنکو I.N.، Karagodova E.A.، Chernikova N.V.، Shor N.3.برنامه ریزی خطی و غیر خطی. کیف، 1975.

23. مک کینزی جی.مقدمه ای بر نظریه بازی ها م.، 1960.

24. موخاچوا E. A.، Rubinstein G. Sh.برنامه نویسی ریاضی نووسیبیرسک، 1977.

25. نیومن جی.، مورگنسترن او.نظریه بازی و رفتار اقتصادی م، 1970.

26. سنگ معدن O.نظریه گراف. م.، 1968.

27. طاها ایکس.مقدمه ای بر تحقیق در عملیات / پر. از انگلیسی. م.، 1985.

28. فیاککو آ.، مک کورمیک جی.برنامه نویسی غیرخطی روش های کمینه سازی متوالی بدون قید و شرط م.، 1972.

29. هدلی جی.برنامه نویسی غیرخطی و پویا م.، 1967.

30. Yudin D.B.، Holstein E.G.برنامه ریزی خطی (تئوری، روش ها و کاربردها). م.، 1969.

31. Yudin D.B.، Holstein E.G.برنامه ریزی خطی. نظریه و روشهای متناهی م.، 1963.

32. لاپین ال.روش های کمی برای تصمیم گیری های تجاری با موارد. ویرایش چهارم. HBJ، 1988.

33. Liitle I.D.C.، Murty K.G، Sweeney D.W.، Karel C.الگوریتمی برای سفر برای مسئله فروشنده دوره گرد. - تحقیق در عملیات، 1342، ج 11، ش. 6، ص. 972-989/ روسی. ترانس.: لیتل جی.، مورتی ک.، سوینی دی.، کرل کی.الگوریتم حل مسئله فروشنده دوره گرد. - در کتاب: اقتصاد و روشهای ریاضی، 1965، ج 1، شماره 1، ص 138. 94-107.

پیشگفتار ................................................ .......................................................... .......................................................... .......................................................... .......... .. 2

معرفی ................................................. ................................................. ................................................ . ................................................ .. ........... 3

فصل 1. برنامه ریزی خطی ................................... ...................................................... ...................................................... ......... 8

1.1. فرمول بندی مسئله برنامه نویسی خطی ...................................... ...................................................... ................ نه

1.2. ویژگی های اصلی ZLP و اولین تفسیر هندسی آن................................. ................................ ...................... یازده

1.3. راه حل های اساسی و دومین تفسیر هندسی ZLP................................................. ................................ ...................... .......... 15

1.4. روش سیمپلکس ..................................................... ................................................ . ................................................ .. ...................................... 17

1.5. روش سیمپلکس اصلاح شده................................................ ...................................................... ................................................. ......... 26

1.6. تئوری دوگانگی در برنامه ریزی خطی ............................................ ...................................................... ............................ سی

1.7. روش دوگانه سیمپلکس ..................................................... ...................................................... ................................................. ................. .37

مفاهیم کلیدی................................................ ...................................................... ...................................................... .......................................................... . 42

سوالات آزمون ................................................ ................................................ . ................................................ .. ............................ 43

فصل 2. برنامه نویسی غیرخطی ................................................... ...................................................... ...................................................... ... 44

2.1. روش‌های حل مشکلات برنامه‌ریزی غیرخطی................................... ...................................................... ............................ 44

2.2. دوگانگی در برنامه نویسی غیرخطی................................ ................................ ................................ ...................................... 55

فصل 3. وظایف حمل و نقل و شبکه ................................... ...................................................... ................................................. ... 60

3.1. مشکل حمل و نقل و روش های حل آن ...................................... ...................................................... ................................... 60

3.2. وظایف شبکه................................................ ................................................. ...................................................... ...................................................... .......... 66

فصل 4. برنامه ریزی گسسته ................................................... ...................................................... ...................................................... .. 74

4.1. انواع وظایف برنامه نویسی گسسته ............................................ ...................................................... ................................ ................................ ..... 74

4.2. روش GOMORY ..................................................... .................................................. ................................................. ...................................... 78

4.3. روش شاخه و صحافی................................ .......................................................... .......................................................... ...................... 81

فصل 5. برنامه نویسی دینامیک ................................................... ...................................................... ...................................... 86

5.1. طرح کلی روش های برنامه ریزی دینامیک................................ ...................................................... .......................... 86

5.2. نمونه هایی از وظایف برنامه نویسی پویا ............................................ ...................................................... ..................................... 93

فصل 6. مروری بر سایر بخش‌های مطالعه عملیات................................... ................................................ 101

6.1. نظریه بازی................................................ ................................................ . ................................................ .. ...................................... 101

6.2. تئوری کنترل بهینه ................................................... ................................ ...................... ................................ ...................... ...................... 108

کتابشناسی ................................................ .. ................................................ .. ...................................................... ................................ 112

هر سیستم خودکار برای کنترل برخی شی طراحی شده است، باید به گونه ای ساخته شود که کنترل آن بهینه باشد، یعنی از یک نظر بهترین باشد. مشکلات کنترل بهینه اغلب در زیرسیستم های کنترل فرآیند بوجود می آیند. در هر مورد، یک کار تکنولوژیکی خاص وجود دارد که برای آن ماشین یا نصب مربوطه (شیء کنترلی) مجهز به سیستم کنترل مربوطه، یعنی. ما در مورد برخی از ACS صحبت می کنیم که شامل یک شیء کنترلی و مجموعه ای از دستگاه هایی است که کنترل این شی را فراهم می کند. به عنوان یک قاعده، این مجموعه شامل دستگاه های اندازه گیری، تقویت کننده تبدیل و فعال سازی است. اگر دستگاه‌های تقویت‌کننده، تبدیل و فعال‌سازی را در یک پیوند به نام دستگاه کنترل یا تنظیم‌کننده ترکیب کنید، نمودار عملکردی ACS را می‌توان به شکل شکل زیر در آورد. یازده

برنج. 12 نمودار عملکردی سیستم بهینه

ورودی دستگاه کنترل یک عمل تنظیم را دریافت می کند که حاوی دستورالعمل هایی در مورد وضعیت جسم است - به اصطلاح "وضعیت مطلوب".

شی کنترل ممکن است یک عمل مزاحم z دریافت کند که نشان دهنده یک بار یا تداخل است. اندازه گیری مختصات یک جسم توسط یک دستگاه اندازه گیری می تواند با برخی خطاهای تصادفی x (خطا) انجام شود.

بنابراین، وظیفه دستگاه کنترل این است که چنین عمل کنترلی را توسعه دهد تا کیفیت عملکرد ACS به عنوان یک کل بهترین باشد. برای تعیین الگوریتم دستگاه کنترل باید ویژگی های جسم و ماهیت اطلاعات مربوط به شی و اختلالاتی که وارد دستگاه کنترل می شود دانست.

تحت ویژگی های شی، وابستگی مقادیر خروجی شی به ورودی را درک کنید

که در آن F، به طور کلی، عملگری است که یک قانون مطابقت بین دو مجموعه از توابع ایجاد می کند. عملگر F یک شی را می توان به روش های مختلفی مشخص کرد: با استفاده از فرمول ها، جداول، نمودارها. همچنین در قالب یک سیستم معادلات دیفرانسیل تنظیم شده است که به صورت برداری به صورت نوشته می شود

که در آن و مقادیر اولیه و نهایی بردار داده شد.

راه های مختلفی برای حل مشکل مورد بررسی وجود دارد. اما تنها یک راه برای مدیریت یک شی بهترین نتیجه را به نوعی می دهد. به این روش کنترل و سیستمی که آن را اجرا می کند بهینه می گویند.

برای اینکه زمینه های کمی برای ترجیح یک روش کنترلی بر روش های دیگر وجود داشته باشد، باید هدف کنترل را تعیین کرد و سپس معیاری را معرفی کرد که اثربخشی دستیابی به هدف را مشخص می کند - معیار بهینه بودن کنترل. معمولاً معیار بهینگی یک مقدار عددی است که بستگی به مختصات و پارامترهای سیستم دارد که در زمان و مکان تغییر می کنند، به طوری که مقدار معینی از معیار با هر قانون کنترلی مطابقت دارد. شاخص های مختلف فنی و اقتصادی فرآیند مورد بررسی را می توان به عنوان معیار بهینه انتخاب کرد.

گاهی اوقات الزامات متفاوت و گاهی متضاد بر سیستم کنترل تحمیل می شود. هیچ قانون کنترلی وجود ندارد که هر یک از الزامات را به بهترین نحو در همان زمان برآورده کند. بنابراین، از بین همه الزامات، باید یک مورد اصلی را انتخاب کنید که باید به بهترین نحو برآورده شود. سایر الزامات نقش محدودیت را ایفا می کنند. بنابراین، انتخاب معیار بهینه باید تنها بر اساس مطالعه فناوری و اقتصادی شی و محیط مورد نظر صورت گیرد. این وظیفه فراتر از تئوری op-amps است.

هنگام حل مسائل کنترلی بهینه، مهمترین چیز تعیین هدف کنترل است که از نظر ریاضی می توان آن را مشکل دستیابی به حد اخر یک مقدار مشخص Q - معیار بهینه بودن در نظر گرفت. در ریاضیات به چنین کمیتی تابعی می گویند. بسته به مسئله ای که حل می شود، رسیدن به حداقل یا حداکثر Q ضروری است. به عنوان مثال، ما یک معیار بهینه می نویسیم که در آن Q باید حداقل باشد.

همانطور که مشاهده می شود، مقدار Q به توابع بستگی دارد.

به عنوان یک معیار بهینه، می توان شاخص ها و برآوردهای فنی و فنی-اقتصادی مختلفی را در نظر گرفت. انتخاب معیار بهینگی یک کار مهندسی و مهندسی-اقتصادی است که بر اساس مطالعه عمیق و جامع فرآیند کنترل شده حل می شود. در تئوری کنترل، توابع انتگرال به طور گسترده ای استفاده می شود که کیفیت عملکرد سیستم را مشخص می کند. رسیدن به حداکثر یا حداقل مقدار این تابع نشان دهنده رفتار یا وضعیت بهینه سیستم است. توابع انتگرال معمولاً شرایط عملیاتی اشیاء کنترلی را منعکس می کنند و محدودیت های اعمال شده بر مختصات (در گرمایش، قدرت، قدرت منابع انرژی و غیره) را در نظر می گیرند.

برای فرآیندهای مدیریتی از معیارهای زیر استفاده می شود:

1. عملکرد بهینه (زمان گذرا)

2. حداقل ریشه میانگین مربعات خطا.

3. حداقل مصرف انرژی.

بنابراین، معیار بهینه ممکن است به یک فرآیند انتقالی یا ثابت در سیستم اشاره کند.

بسته به معیار بهینه، سیستم های بهینه را می توان به دو کلاس اصلی تقسیم کرد - بهینه در سرعت و بهینه در دقت.

سیستم های کنترل بهینه بسته به ماهیت معیار بهینه بودن را می توان به سه نوع تقسیم کرد:

الف) سیستم های بهینه یکنواخت؛

ب) سیستم های آماری بهینه.

ج) سیستم های حداقل-بهینه.

یک سیستم بهینه یکنواخت سیستمی است که در آن هر فرآیند فردی بهینه باشد. به عنوان مثال، در سیستم های سرعت بهینه، تحت هر شرایط اولیه و هر گونه اغتشاش، سیستم در کوتاه ترین مسیر زمانی به حالت مورد نیاز می رسد.

در سیستم های بهینه آماری، معیار بهینه بودن دارای ویژگی آماری است. چنین سیستم هایی باید به طور متوسط بهترین باشند. در اینجا بهینه سازی در هر فرآیند جداگانه مورد نیاز یا غیر ممکن نیست. به عنوان یک معیار آماری، مقدار متوسط یک معیار اولیه اغلب ظاهر می شود، به عنوان مثال، انتظار ریاضی از یک مقدار معین که فراتر از محدودیت های خاص است.

سیستم های Minimax-optimal سیستم هایی هستند که در بدترین حالت بهترین نتیجه ممکن را به ارمغان می آورند. تفاوت آنها با سیستم های بهینه یکنواخت در این است که در غیر بدترین حالت، می توانند نتیجه بدتری نسبت به هر سیستم دیگری داشته باشند.

بسته به روش به دست آوردن اطلاعات در مورد شی مدیریت شده، سیستم های بهینه را نیز می توان به سه نوع تقسیم کرد:

سیستم های بهینه با اطلاعات کامل در مورد شی.

سیستم های بهینه با اطلاعات ناقص در مورد شی و انباشت غیرفعال آن؛

سیستم های بهینه با اطلاعات ناقص در مورد شی و تجمع فعال آن در فرآیند کنترل (سیستم های کنترل دوگانه).

دو نوع مشکل سنتز سیستم بهینه وجود دارد:

تعیین مقادیر بهینه پارامترهای کنترل کننده برای پارامترهای داده شده شی و ساختار داده شده سیستم.

سنتز ساختار و تعیین پارامترهای کنترل کننده برای پارامترهای داده شده و ساختار شی کنترل.

حل مسائل نوع اول با روش های مختلف تحلیلی و در عین حال به حداقل رساندن تخمین های انتگرالی و همچنین با کمک فن آوری کامپیوتری (مدل سازی کامپیوتری) با در نظر گرفتن یک معیار بهینگی داده شده امکان پذیر است.

حل مسائل نوع دوم مبتنی بر استفاده از روش‌های ویژه است: روش‌های حساب متغیر کلاسیک، اصل حداکثر پونتریاگین و برنامه‌نویسی پویا بلمن، و همچنین روش‌های برنامه‌ریزی ریاضی. برای سنتز سیستم های بهینه با سیگنال های تصادفی از روش های وینر، روش های متغیر و فرکانس استفاده می شود. در توسعه سیستم های تطبیقی، بیشترین استفاده از روش های گرادیان است که به شما امکان می دهد قوانین، تغییرات در پارامترهای قابل تنظیم را تعیین کنید.

در سال‌های اخیر، کنترل بهینه هم در سیستم‌های فنی برای بهبود کارایی فرآیندهای تولید و هم در سیستم‌های مدیریت سازمانی برای بهبود فعالیت‌های بنگاه‌ها، سازمان‌ها و بخش‌های اقتصاد ملی مورد استفاده قرار گرفته است.

در سیستم های سازمانی، معمول است که بدون بررسی به نتیجه نهایی تیم علاقه مند شویم

راندمان در طول فرآیند گذرا بین صدور فرمان و به دست آوردن نتیجه نهایی.این با این واقعیت توضیح داده می شود که معمولاً در چنین سیستم هایی تلفات در فرآیند گذرا بسیار ناچیز است و به طور قابل توجهی بر سود کل در حالت پایدار تأثیر نمی گذارد، زیرا خود حالت پایدار بسیار طولانی تر از فرآیند گذرا است. اما گاهی اوقات دینامیک به دلیل مشکلات ریاضی بررسی نمی شود. دروس روش ها به روش های بهینه سازی حالت های نهایی در سیستم های سازمانی و اقتصادی اختصاص دارد. بهینه سازی و تحقیق در عملیات

در کنترل سیستم های فنی پویا، بهینه سازی اغلب دقیقاً برای فرآیندهای گذرا ضروری است، که در آن شاخص کارایی نه تنها به مقادیر فعلی مختصات (مانند کنترل شدید)، بلکه به ماهیت تغییر بستگی دارد. گذشته، حال و آینده، و با برخی تابع ها بر روی مختصات، مشتقات آنها و شاید زمان بیان می شود.

به عنوان مثال می توان به مدیریت دویدن ورزشکاران از راه دور اشاره کرد. از آنجایی که ذخیره انرژی او توسط عوامل فیزیولوژیکی محدود است و مصرف ذخیره بستگی به ماهیت دویدن دارد، ورزشکار دیگر نمی تواند در هر لحظه حداکثر توان ممکن را بدهد تا ذخیره انرژی را پیش از موعد مصرف نکند و بدود. خارج از بخار در فاصله، اما باید به دنبال حالت بهینه در حال اجرا برای ویژگی های خود باشد.

یافتن کنترل بهینه در چنین مسائل دینامیکی مستلزم حل یک مسئله ریاضی نسبتاً پیچیده در فرآیند کنترل با روش‌های محاسبه تغییرات یا برنامه‌ریزی ریاضی، بسته به نوع توصیف ریاضی (مدل ریاضی) سیستم است. بنابراین، یک دستگاه محاسباتی یا یک کامپیوتر جزء ارگانیک سیستم کنترل بهینه می شود. اصل در شکل نشان داده شده است. 1.10. ورودی دستگاه محاسباتی (ماشین) VM اطلاعاتی در مورد مقادیر فعلی مختصات x از خروجی شی O، در مورد کنترل ها و از ورودی آن، در مورد تأثیرات خارجی z بر روی جسم و همچنین از ورودی آن دریافت می کند. تنظیم شرایط مختلف از بیرون: مقدار معیار بهینه برای شرایط مرزی اطلاعات در مورد مقادیر مجاز محاسباتی

موسسه آموزشی دولتی

آموزش عالی حرفه ای

موسسه فیزیک و فناوری مسکو

(دانشگاه دولتی)

تایید

معاونت علمی

یو.آ.سامارسکی

"____" _______________ 2004

برنامه

در دوره: کنترل بهینه

در جهت 511600

دانشکده FUPM

گروه مبانی ریاضی کنترل

خوب IV

ترم 7، 8

سخنرانی - 50 ساعت. امتحان - 8 ترم

سمینارها - 50 ساعت. اعتبار - ترم 7

آزمایشگاه ها - نه

کار مستقل - 2 ساعت در هفته

کل ساعت 100

برنامه و وظیفه توسط: دکترای علوم فیزیک و ریاضی، پروفسور Zhadan V.G.

رئیس اداره S.A. غاز

1. مشکل اصلی کنترل بهینه. اصل حداکثر L.S پونتریاگین (اصل حداقل). نماد متعارف. اصل حداکثر برای سیستم های حاوی پارامترهای کنترلی.

2. مشکلات با انتهای راست متحرک. شرایط عرضی مسائل لاگرانژ و بولز. مشکلات مایر و لاگرانژ با زمان پایان فرآیند غیر ثابت. وظیفه سرعت. مشکل در انتهای چپ متحرک.

3. اثبات اصل حداکثر L.S. پونتریاگین برای مشکل مایر. مفهوم تنوع سوزنی. لم گرونوال–بلمن. حسابداری برای بهینه سازی با پارامتر کنترل.

4. ارتباط اصل حداکثر با حساب تغییرات. معادله اویلر اولین انتگرال های معادله اویلر. شرایط Weerstrass، Legendre و Jacobi. معادله ژاکوبی شرایط Weerstrass-Erdmann.

5. سیستم های خطی. اصل حداکثر برای سیستم های خطی. قضیه در مورد تعداد متناهی نقاط سوئیچینگ.

6. مجموعه قابلیت دسترسی برای سیستم های خطی. کنترل افراطی و اصل افراطی.

7. قابلیت کنترل نقطه برای سیستم های خطی. معیار کنترل پذیری نقطه قضیه کالمن در مورد کنترل پذیری نقطه. قابلیت کنترل کامل سیستم های خطی قضیه کالمن در مورد کنترل پذیری کامل سیستم های خودمختار.

8. مشکل مشاهده پذیری. معیار مشاهده پذیری برای یک سیستم خطی. مشاهده حالت اولیه رابطه بین مشاهده پذیری و کنترل پذیری. معیار مشاهده پذیری کامل یک سیستم ثابت.

9. فرمالیسم لاگرانژ و استفاده از آن برای حل مسائل کنترلی بهینه. مشکل سنتز کنترل بهینه

10. مشکل شناسایی. معیار شناسایی معیاری برای شناسایی کامل یک سیستم ثابت.

11. سیستم هایی با سمت راست ناپیوسته. وضعیت پرش

12. مفهوم سیستم های ثابت. ویژگی های سیستم های دینامیکی میدان مرجع تکانه ها. شرایط لازم و کافی برای عدم تغییر. عملکرد اصلاحی

13. شرایط کافی برای بهینه سازی. حوزه افراط و تفریط. ارتباط با شرایط Weerstrass کافی برای مسئله کلاسیک حساب تغییرات.

14. عناصر تئوری برنامه نویسی پویا. شرایط لازم برای بهینه سازی شرایط بهینه کافی معادله بلمن استخراج اصل حداکثر از برنامه نویسی پویا. ارتباط با حساب تغییرات.

15. روش های حل مسائل مقدار مرزی. کاربرد روش نیوتن. انتقال شرایط مرزی روش جارو برای مسائل غیر خطی.

16. روش های عددی مبتنی بر تجزیه و تحلیل متوالی انواع. روش جارو کیف، روش لوله سرگردان، روش تغییرات محلی.

17. روش های عددی مبتنی بر تقلیل به مسائل برنامه ریزی غیرخطی. محاسبه مشتقات با توجه به اجزای بردار کنترل در مورد فرآیندهای گسسته. روش پنالتی، روش عملکردی بارگذاری شده.

18. اصل حداقل گسسته. نابرابری های متغیر استفاده از روش گرادیان شرطی برای حل مسائل کنترلی بهینه. اصل شبه حداقل.

19. شرایط بهینه کافی V.F. کروتوف برای فرآیندهای پیوسته و گسسته. کاربرد V.F. کروتوف برای حل مسائل خطی.

20. کنترل های ویژه. تعریف کنترل های ویژه با استفاده از براکت های پواسون. شرایط کلی و کوپ-مویر.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. موسیف N.N.روش های عددی در تئوری سیستم های بهینه. - M.: Nauka، 1971.

2. یوتوشنکو یو.جی.روش های حل مسائل شدید و کاربرد آنها در سیستم های بهینه سازی - M.: Nauka، 1982.

3. مویزف N.N.، Ivanilov Yu.P.، Stolyarova E.M.روش های بهینه سازی - M.: Nauka، 1987.

4. Pontryagin L.S.، Boltyansky V.G.، Gamkrelidze Z.V.، Mishchenko E.F.نظریه ریاضی فرآیندهای بهینه. - م.: فیزمتگیز، 1961.

5. واسیلیف F.P.روش هایی برای حل مشکلات شدید - M.: Nauka، 1988.

6. گاباسوف آر.، کیریلووا F.M.اصل حداکثر در تئوری کنترل بهینه. - مینسک: علم و فناوری، 1974.

7. فلمینگ دبلیو، ریشل آر.کنترل بهینه سیستم های قطعی و تصادفی. - م.: میر، 1978.

8. مبانی نظریه کنترل بهینه /ویرایش V.F. کروتوف- م .: مدرسه عالی، 1990.

9. لی ای بی، مارکوس پی.مبانی تئوری کنترل بهینه. مسکو: ناوکا، 1972.

10. گاباسوف آر.، کیریلووا F.M.کنترل های بهینه ویژه - M.: Nauka، 1973.

کار قابل مشاهده است

طبقه بندی سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه کنترل بهینه سیستم های کاری دانشمندان انگلیسی

مدیریت استراتژیک شرکت سیستم مدیریت استراتژیک

سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه طبقه بندی سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه کنترل بهینه سیستم های کاری دانشمندان انگلیسی

28. طراحی تحلیلی رگولاتورها. فرمول بندی مسئله.

برنامه

دسته بندی ها

نوشته های محبوب

ورودی های جدید